Kardinala Puljića, koji je najdulje u službi, kardinalom je imenovao 26. studenoga 1994. papa Ivan Pavao II. On je, uz umirovljenog zagrebačkog nadbiskupa kardinala Josipa Bozanića jedan od dvojice hrvatskih kardinala koji su sudjelovali u izboru novog pape.
Uz njih je u konklavi sudjelovao i nadbiskup Chicaga kardinal Blase Cupich, koji je podrijetlom Hrvat.
Kardinali Bozanić i Puljić su se u utorak 6. svibnja nakon mise u Hrvatskoj crkvi sv. Jeronima povukli u Dom sv. Marte u Vatikanu, gdje su boravili do izbora novog pape.
Kardinal Puljić u početku je dvojio hoće li iz zdravstvenih razloga moći poći u Rim na izbor novog pape ali je, nakon što je dobio pozitivno mišljenje liječnika, objavio da će sudjelovati u konklavi. Prije ove konklave, sudjelovao je i u izboru pape Benedikta XVI. i pape Franje.
Uoči konklava, za Katolički tjednik otkrio je koje bi osobine po njegovu mišljenju trebale resiti novog papu. „Mislim da je vrlo važno da bude čovjek snažne vjere. Drugo, jasnih stavova vjere i morala. Treće, čovjekoljubiv i kontaktibilan. A onda, na neki način, čovjek vizije i da bude otvoren komunikaciji da zna primiti savjet“, rekao je kardinal Puljić, javlja IKA.
